Пусть задано некоторое конечное множество из N различных элементов. И требуется выбрать из него M элементов. Выбранные M из предложенных N элементов называются выборкой. Если важен порядок, в котором произведена выборка элементов, то говорят об упорядоченной выборке, если порядок не важен, то говорят о неупорядоченной выборке.
В комбинаторике упорядоченная выборка объемом M элементов из предложенного множества N различных элементов называется размещением из N элементов по M.
Все комбинации внутри размещения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения.
Различают также размещения без повторений (когда все M элементов внутри выборки различны) и размещения с повторениями.
Задача: Найти все возможные размещения из множества элементов {1,2,3} по 2.
Существуют следующие размещения:
1: 1 2
2: 1 3
3: 2 1
4: 2 3
5: 3 1
6: 3 2
Размещения без повторений
В случае размещения без повторений количество элементов множества N≥M.
Количество размещений без повторений для N различных элементов по M составляет составляет
В случае если N=M, количество размещений совпадает с количеством перестановок без повторений и составляет N!. Такое же количество размещений получится в случае если M=N-1.
Рассмотрим задачу получения всех размещений без повторений для чисел 1…N по M. Для генерации всех возможных размещений из N по M в лексикографическом порядке воспользуемся ранее рассмотренным решением для генерации перестановок без повторений.
Реализация на С++
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
using namespace std;
void swap(int *a, int i, int j)
{
int s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int *a, int n, int m)
{
int j;
do // повторяем пока не будет найдено следующее размещение
{
j = n - 1;
while (j != -1 && a[j] >= a[j + 1]) j--;
if (j == -1)
return false; // больше размещений нет
int k = n - 1;
while (a[j] >= a[k]) k--;
swap(a, j, k);
int l = j + 1, r = n - 1; // сортируем оставшуюся часть последовательности
while (l < r)
swap(a, l++, r--);
} while (j > m - 1);
return true;
}
void Print(int *a, int n) // вывод размещения
{
static int num = 1; // номер размещения
cout.width(3); // ширина поля вывода номера размещения
cout << num++ << ": ";
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << a[i] << " ";
cout << endl;
}
int main()
{
int n, m, *a;
cout << "N = ";
cin >> n;
cout << "M = ";
cin >> m;
a = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
a[i] = i + 1;
Print(a, m);
while (NextSet(a, n, m))
Print(a, m);
cin.get(); cin.get();
return 0;
}
Результат выполнения
Размещения с повторениями
В случае если элементы из множества N могут повторяться в выборках по M элементов, общее количество таких размещений составляет
При этом не накладывается ограничений на размерность рассматриваемого массива N по сравнению с M (может быть как N≥M, так и N<M).
Примером такой задачи может служить подбор шифра сейфа из M<10 цифр, которые должны набираться последовательно и могут повторяться.
Для генерации размещений с повторениями удобно было бы использовать M вложенных циклов, однако такое решение применимо только к задаче, в которой заранее известно число M. Поэтому рассмотрим более общий вариант генерации размещений с повторениями.
Реализация на С++
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
using namespace std;
bool NextSet(int *a, int n, int m)
{
int j = m - 1;
while (j >= 0 && a[j] == n) j--;
if (j < 0) return false;
if (a[j] >= n)
j--;
a[j]++;
if (j == m - 1) return true;
for (int k = j + 1; k < m; k++)
a[k] = 1;
return true;
}
void Print(int *a, int n)
{
static int num = 1;
cout.width(3);
cout << num++ << ": ";
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << a[i] << " ";
cout << endl;
}
int main()
{
int n, m, *a;
cout << "N = ";
cin >> n;
cout << "M = ";
cin >> m;
int h = n > m ? n : m; // размер массива а выбирается как max(n,m)
a = new int[h];
for (int i = 0; i < h; i++)
a[i] = 1;
Print(a, m);
while (NextSet(a, n, m))
Print(a, m);
cin.get(); cin.get();
return 0;
}
Результат работы приведенного выше алгоритма:
Назад: Алгоритмизация
Комментариев к записи: 1