Генерация сочетаний

Алгоритмизация / Генерация сочетаний

 

В комбинаторике сочетанием из N различных элементов по M называется набор M элементов, выбранных из множества N элементов. Такие наборы отличаются только вхождением в них M определенных элементов, порядок следования элементов в таком наборе не важен. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, и этим сочетания отличаются от размещений.

Сочетания без повторений

Задача: Найти все возможные сочетания без повторений из множества элементов {1,2,3} по 2.
Существуют следующие сочетания:

1: 1 2
2: 1 3
3: 2 3


Количество возможных сочетаний без повторений из N элементов по M можно определить по формуле (N≥M):

Количество сечетаний из N по M

что в M! раз меньше соответствующего количества размещений без повторений (поскольку сочетания без повторений не зависят от порядка следования элементов).

Рассмотрим задачу получения всех сочетаний для чисел 1…N по M.

Реализация на С++

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
#include <iostream>
using namespace std;
bool NextSet(int *a, int n, int m)
{
  int k = m;
  for (int i = k - 1; i >= 0; --i)
    if (a[i] < n - k + i + 1) 
    {
      ++a[i];
      for (int j = i + 1; j < k; ++j)
        a[j] = a[j - 1] + 1;
      return true;
    }
  return false;
}
void Print(int *a, int n) 
{
  static int num = 1; 
  cout.width(3);
  cout << num++ << ": ";
  for (int i = 0; i < n; i++)
    cout << a[i] << " ";
  cout << endl;
}
int main() 
{
  int n, m, *a;
  cout << "N = ";
  cin >> n;
  cout << "M = ";
  cin >> m;
  a = new int[n];
  for (int i = 0; i < n; i++)
    a[i] = i + 1;
  Print(a, m);
  if (n >= m)
  {
    while (NextSet(a, n, m))
      Print(a, m);
  }
  cin.get(); cin.get();
  return 0;
}

Результат выполнения
Генерация сочетаний без повторений

 

Сочетания с повторениями

Сочетаниями с повторениями называются наборы по M элементов, в которых каждый элемент множества N может участвовать несколько раз. При этом на соотношение значений M и N не накладывается никаких ограничений, а общее количество сочетаний с повторениями составляет

Количество сочетаний с повторениями

Примером такой задачи может служить выбор M открыток из N всеми возможными способами.

Для генерации сочетаний с повторениями воспользуемся решением для генерации размещений с повторениями, рассмотренным в этой статье.

Реализация на С++

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
#include <iostream>
using namespace std;
bool NextSet(int *a, int n, int m)
{
  int j = m - 1;
  while (a[j] == n && j >= 0) j--;
  if (j < 0) return false;
  if (a[j] >= n)
    j--;
  a[j]++;
  if (j == m - 1) return true;
  for (int k = j + 1; k < m; k++)
    a[k] = a[j];
  return true;
}
void Print(int *a, int n) 
{
  static int num = 1;
  cout.width(3);
  cout << num++ << ": ";
  for (int i = 0; i < n; i++)
    cout << a[i] << " ";
  cout << endl;
}
int main() 
{
  int n, m, *a;
  cout << "N = ";
  cin >> n;
  cout << "M = ";
  cin >> m;
  int h = n > m ? n : m; // размер массива а выбирается как max(n,m)
  a = new int[h];
  for (int i = 0; i < h; i++)
    a[i] = 1;
  Print(a, m);
  while (NextSet(a, n, m))
    Print(a, m);
  cin.get(); cin.get();
  return 0;
}

Результат работы приведенного выше алгоритма:
Генерация сочетаний с повторениями

Генерация сочетаний с повторениями


Назад: Алгоритмизация

Комментариев к записи: 21

  • Наталья
    При инициализации достаточно записывать в массив M чисел, а не N. И неплохо было бы освободить динамически выделенную память.

    • Елена Вставская
      При инициализации нас нужны все N чисел, чтобы генерировать сочетания. Про освобождение памяти - согласна.

  • Елена Вставская
    Перед 39 строчкой (в первом примере) вставить нужную проверку

  • Александр Ермаков
    Реализация на VBA
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    13
    14
    15
    16
    17
    18
    19
    20
    21
    22
    23
    24
    25
    26
    27
    28
    29
    30
    31
    32
    33
    34
    35
    36
    37
    38
    39
    40
    Function nextSet(ByRef a() As Integer, n%, m%) As Boolean
    Dim k%, i%, j%
        k = m
        For i = k - 1 To 0 Step -1
        If (a(i) < n - k + i + 1) Then
          a(i) = a(i) + 1
          j = i + 1
            Do While j < k
                a(j) = a(j - 1) + 1
                j = j + 1
            Loop
            nextSet = True
          Exit Function
         End If
        Next i
      nextSet = False
    End Function

    Sub main()
    Dim n%, m%, a() As Integer, k%, i%, j%
        Cells.ClearContents
        n = 4
        m = 2
        ReDim a(0 To n - 1)
        For i = 0 To n - 1
           a(i) = i + 1
        Next i
      k = 1
      If n >= m Then
         For j = 0 To m - 1
            Cells(k, j + 1) = a(j)
         Next j
        Do While nextSet(a, n, m)
          k = k + 1
          For j = 0 To m - 1
            Cells(k, j + 1) = a(j)
          Next j
        Loop
      End If
    End Sub

  • Реализация на PascalABC
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    13
    14
    15
    16
    begin 
       var (m, n) := (4, 6);  // Сочетания по m из n без повторений;
       var a := n.Range.ToArray;  // создаем и заполняем массив а[1..n] = 12...n
       a[0:m].Println;  //выводим первый элемент
       var i := m-1;  
       repeat             
            if a[i] < n - m + i + 1 then
               begin
                   a[i] += 1;               
                   for var j := i+1 to m-1 do a[j] := a[j-1] +1;
                   a[0:m].Println;             
                   i := m;
               end;                   
            i -= 1;         
       until i = -1;
    end.

  • Александр
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    13
    14
    15
    16
    17
    18
    19
    20
    21
    22
    23
    24
    25
    26
    27
    28
    29
    30
    31
    #include <stdio.h>
    #include <conio.h>

    void main(void)
    {  int n=6, k=4, 
       p, counter=1;
       int *A = new int[k];

      for (int i = 1; i <=k; i++)
        A[i]=i;
      p=k;
      while (p>=1)
      {  printf("%i)\t",counter);
        for (int i = 1; i <=k; i++)
          printf("%i ", A[i]);
        printf("\n");
        counter++;
        if (A[k]==n)
          p=p-1;
        else
          p=k;
        for(int i=k; i>=p; i--)
          A[i]=A[p]+i-p+1;
      }


      printf("Press any key...");
      getch();
      delete A;
      return;
    }


  • Я впервые вижу код! Как мне запустить код "Сочетания без повторений", чтоб создал мне список состоящий из комбинации цифр 123456 и записывал мне все возмоные комбинации в текстовый документ только число состоящее из 4-х знаков (цифр), без повторов как цифр, так и комбинайий этих цифр? Помогайте, я не понимаю от слова совсем этот код, но мне нужно создать подобный словарь.

  • Константин Ситников
    Уважаемая Елена, прошу ликбеза: если i - это переменная цикла, то чем отличается "i++" от "++i"? Просто в Вашем коде встречается и то, и другое.

    • Елена Вставская
      i++ сначала производит действие с переменной i, а затем увеличивает ее на 1. ++i сначала увеличивает переменную на 1, а затем производит с ней действие.

      • Константин Ситников
        Само по себе это понятно, мой вопрос был в другом: какая разница между постинкрементом и преинкрементом, когда речь идёт о ПЕРЕМЕННОЙ ЦИКЛА? Не вообще переменной, а именно переменной цикла.

        • Елена Вставская
          В цикле for разницы нет. Модификация переменной всегда происходит после итерации цикла.






      • Сочетания с повторениями. А где вариант из примера, например 2 2 1? Если N=4, M=3, то количество сочетаний равно 4^3.

        • Елена Вставская
          Сочетание под номером 5. Не путайте с размещениями, где важен порядок следования элементов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *