В комбинаторике сочетанием из N различных элементов по M называется набор M элементов, выбранных из множества N элементов. Такие наборы отличаются только вхождением в них M определенных элементов, порядок следования элементов в таком наборе не важен. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, и этим сочетания отличаются от размещений.
Сочетания без повторений
Задача: Найти все возможные сочетания без повторений из множества элементов {1,2,3} по 2.
Существуют следующие сочетания:
1: 1 2
2: 1 3
3: 2 3
Количество возможных сочетаний без повторений из N элементов по M можно определить по формуле (N≥M):
что в M! раз меньше соответствующего количества размещений без повторений (поскольку сочетания без повторений не зависят от порядка следования элементов).
Рассмотрим задачу получения всех сочетаний для чисел 1…N по M.
Реализация на С++
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
using namespace std;
bool NextSet(int *a, int n, int m)
{
int k = m;
for (int i = k - 1; i >= 0; --i)
if (a[i] < n - k + i + 1)
{
++a[i];
for (int j = i + 1; j < k; ++j)
a[j] = a[j - 1] + 1;
return true;
}
return false;
}
void Print(int *a, int n)
{
static int num = 1;
cout.width(3);
cout << num++ << ": ";
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << a[i] << " ";
cout << endl;
}
int main()
{
int n, m, *a;
cout << "N = ";
cin >> n;
cout << "M = ";
cin >> m;
a = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
a[i] = i + 1;
Print(a, m);
if (n >= m)
{
while (NextSet(a, n, m))
Print(a, m);
}
cin.get(); cin.get();
return 0;
}
Результат выполнения
Сочетания с повторениями
Сочетаниями с повторениями называются наборы по M элементов, в которых каждый элемент множества N может участвовать несколько раз. При этом на соотношение значений M и N не накладывается никаких ограничений, а общее количество сочетаний с повторениями составляет
Примером такой задачи может служить выбор M открыток из N всеми возможными способами.
Для генерации сочетаний с повторениями воспользуемся решением для генерации размещений с повторениями, рассмотренным в этой статье.
Реализация на С++
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
using namespace std;
bool NextSet(int *a, int n, int m)
{
int j = m - 1;
while (a[j] == n && j >= 0) j--;
if (j < 0) return false;
if (a[j] >= n)
j--;
a[j]++;
if (j == m - 1) return true;
for (int k = j + 1; k < m; k++)
a[k] = a[j];
return true;
}
void Print(int *a, int n)
{
static int num = 1;
cout.width(3);
cout << num++ << ": ";
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << a[i] << " ";
cout << endl;
}
int main()
{
int n, m, *a;
cout << "N = ";
cin >> n;
cout << "M = ";
cin >> m;
int h = n > m ? n : m; // размер массива а выбирается как max(n,m)
a = new int[h];
for (int i = 0; i < h; i++)
a[i] = 1;
Print(a, m);
while (NextSet(a, n, m))
Print(a, m);
cin.get(); cin.get();
return 0;
}
Результат работы приведенного выше алгоритма:
Назад: Алгоритмизация
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Dim k%, i%, j%
k = m
For i = k - 1 To 0 Step -1
If (a(i) < n - k + i + 1) Then
a(i) = a(i) + 1
j = i + 1
Do While j < k
a(j) = a(j - 1) + 1
j = j + 1
Loop
nextSet = True
Exit Function
End If
Next i
nextSet = False
End Function
Sub main()
Dim n%, m%, a() As Integer, k%, i%, j%
Cells.ClearContents
n = 4
m = 2
ReDim a(0 To n - 1)
For i = 0 To n - 1
a(i) = i + 1
Next i
k = 1
If n >= m Then
For j = 0 To m - 1
Cells(k, j + 1) = a(j)
Next j
Do While nextSet(a, n, m)
k = k + 1
For j = 0 To m - 1
Cells(k, j + 1) = a(j)
Next j
Loop
End If
End Sub
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
var (m, n) := (4, 6); // Сочетания по m из n без повторений;
var a := n.Range.ToArray; // создаем и заполняем массив а[1..n] = 12...n
a[0:m].Println; //выводим первый элемент
var i := m-1;
repeat
if a[i] < n - m + i + 1 then
begin
a[i] += 1;
for var j := i+1 to m-1 do a[j] := a[j-1] +1;
a[0:m].Println;
i := m;
end;
i -= 1;
until i = -1;
end.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
#include <conio.h>
void main(void)
{ int n=6, k=4,
p, counter=1;
int *A = new int[k];
for (int i = 1; i <=k; i++)
A[i]=i;
p=k;
while (p>=1)
{ printf("%i)\t",counter);
for (int i = 1; i <=k; i++)
printf("%i ", A[i]);
printf("\n");
counter++;
if (A[k]==n)
p=p-1;
else
p=k;
for(int i=k; i>=p; i--)
A[i]=A[p]+i-p+1;
}
printf("Press any key...");
getch();
delete A;
return;
}