Задача перевода заключается в следующем: Пусть известна запись числа x в системе счисления с каким-либо основанием P:

x = p_n·Pⁿ+p_n-1·P^n-1+…+p₁·P¹+p₀·P⁰+p_-1·P^-1+…+p_-m·P^-m

где p_i – цифры P-ичной системы. Требуется найти запись этого числа x в системе счисления с основанием Q:

x = q_u·Q^u+q_u-1·Q^u-1+…+q₁·Q¹+q₀·Q⁰+q_-1·Q^-1+…+q_-v·Q^-v

где q_i – искомые цифры Q-ичной системы.

Для перевода любого числа достаточно отдельно перевести его целую и дробную части.

Перевод целых чисел

Представим число x в Q-ичной системе в виде полинома

x = q_u·Q^u+q_u-1·Q^u-1+…+q₁·Q¹+q₀·Q⁰

Разделим обе части этого равенства на основание искомой системы счисления Q, причем в левой части произведем фактическое деление, поскольку запись числа x в P-ичной системе нам известна, а в правой части деление выполним аналитически:

x/Q = q_u·Q^u-1+q_u-1·Q^u-2+…+q₁·Q⁰;   q₀ — остаток от деления

Таким образом, младший коэффициент числа x в Q-ичной системе счисления является остатком от деления x на Q. Число x/Q  является целым, и к нему тоже можно применить описанную процедуру:

x/Q² = q_u·Q^u-2+q_u-1·Q^u-3+…+q₂·Q⁰;   q₁ — остаток от деления

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получено x/Q^u=0. Для записи числа x в Q-ичной системе счисления запишем каждый из полученных коэффициентов q_i одной Q-ичной цифрой:

x_Q=q_uq_u-1…q₁q₀

Пример 1: Перевести число 47₁₀ в двоичную систему счисления (Q=2).

Искомое число 47₁₀ = 101111₂.
Пример 2: Перевести число 3060₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления (Q = 16).

Таким образом,  4₁₀ = 4₁₆,  15₁₀ = F₁₆,  11₁₀ = B₁₆. Искомое число
3060₁₀ = BF4₁₆.

Перевод дробных чисел

Пусть необходимо перевести в Q-ичную систему правильную дробь x (0<x<1), заданную в P-ичной системе счисления.
Поскольку x<1, то в Q-ичной системе запись числа x будет иметь вид

x = q_-1·Q^-1+q_-2·Q^-2+…+q_-v·Q^-v

Умножив обе части этого выражения на Q, получим

x·Q = q_-1·Q⁰+q_-2·Q^-1+…+q_-v·Q^-v+1

где q_-1 является целой частью, а (x·Q — q_-1)  – правильная дробь. Таким образом, искомые коэффициенты q_i  могут быть определены по формуле

q_-(i+1)=[x_i·Q]

где [ ] – целая часть. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено x_i+1=0, либо не будет достигнута требуемая точность числа.

Пример 3: Перевести число 0,273₁₀ в двоичную систему счисления

Искомое число x = 0,273₁₀ = 0,0100010111…₂.