Граф


 

Граф – совокупность точек, соединенных линиями. Точки называются вершинами, или узлами, а линии – ребрами, или дугами.

Степень входа вершины – количество входящих в нее ребер, степень выхода – количество исходящих ребер.

Граф, содержащий ребра между всеми парами вершин, является полным.

Встречаются такие графы, ребрам которых поставлено в соответствие конкретное числовое значение, они называются взвешенными графами, а это значение – весом ребра.

Когда у ребра оба конца совпадают, т.е. оно выходит из вершины и входит в нее, то такое ребро называется петлей.

Петля

Классификация графов

Графы делятся на

  • связные
    Связный граф
  • несвязные
    Несвязный граф

В связном графе между любой парой вершин существует как минимум один путь.

В несвязном графе существует хотя бы одна вершина, не связанная с другими.

Графы также подразделяются на

  • ориентированные
    Ориентированный граф
  • неориентированные
    Неориентированный граф
  • смешанные.

В ориентированном графе ребра являются направленными, т.е. существует только одно доступное направление между двумя связными вершинами.

В неориентированном графе по каждому из ребер можно осуществлять переход в обоих направлениях.

Частный случай двух этих видов – смешанный граф. Он характерен наличием как ориентированных, так и неориентированных ребер.

Способы представления графа

Граф может быть представлен (сохранен) несколькими способами:

  • матрица смежности;
  • матрица инцидентности;
  • список смежности (инцидентности);
  • список ребер.

Использование двух первых методов предполагает хранение графа в виде двумерного массива (матрицы). Размер массива зависит от количества вершин и/или ребер в конкретном графе.

Матрица смежности графа — это квадратная матрица, в которой каждый элемент принимает одно из двух значений: 0 или 1.
Число строк матрицы смежности равно числу столбцов и соответствует количеству вершин графа.

  • 0 – соответствует отсутствию ребра,
  • 1 – соответствует наличию ребра.

Матрица смежности
Когда из одной вершины в другую проход свободен (имеется ребро), в ячейку заносится 1, иначе – 0. Все элементы на главной диагонали равны 0 если граф не имеет петель.

 
Матрица инцидентности (инциденции) графа — это матрица, количество строк в которой соответствует числу вершин, а количество столбцов – числу рёбер. В ней указываются связи между инцидентными элементами графа (ребро(дуга) и вершина).

В неориентированном графе если вершина инцидентна ребру то соответствующий элемент равен 1, в противном случае элемент равен 0.

В ориентированном графе если ребро выходит из вершины, то соответствующий элемент равен 1, если ребро входит в вершину, то соответствующий элемент равен -1, если ребро отсутствует, то элемент равен 0.

Матрица инцидентности для своего представления требует нумерации рёбер, что не всегда удобно.
Матрица инцидентности

Список смежности (инцидентности)
Если количество ребер графа по сравнению с количеством вершин невелико, то значения большинства элементов матрицы смежности будут равны 0. При этом использование данного метода нецелесообразно. Для подобных графов имеются более оптимальные способы их представления.

По отношению к памяти списки смежности менее требовательны, чем матрицы смежности. Такой список можно представить в виде таблицы, столбцов в которой – 2, а строк - не больше, чем вершин в графе.
В каждой строке в первом столбце указана вершина выхода, а во втором столбце – список вершин, в которые входят ребра из текущей вершины.Список смежности

Преимущества списка смежности:

  • Рациональное использование памяти.
  • Позволяет быстро перебирать соседей вершины.
  • Позволяет проверять наличие ребра и удалять его.

Недостатки списка смежности:

  • При работе с насыщенными графами (с большим количеством рёбер) скорости может не хватать.
  • Нет быстрого способа проверить, существует ли ребро между двумя вершинами.
  • Количество вершин графа должно быть известно заранее.
  • Для взвешенных графов приходится хранить список, элементы которого должны содержать два значащих поля, что усложняет код:
    • номер вершины, с которой соединяется текущая;
    • вес ребра.

 
Список рёбер
В списке рёбер в каждой строке записываются две смежные вершины и вес соединяющего их ребра (для взвешенного графа).
Количество строк в списке ребер всегда должно быть равно величине, получающейся в результате сложения ориентированных рёбер с удвоенным количеством неориентированных рёбер.
Список рёбер
Какой способ представления графа лучше? Ответ зависит от отношения между числом вершин и числом рёбер. Число ребер может быть довольно малым (такого же порядка, как и количество вершин) или довольно большим (если граф является полным). Графы с большим числом рёбер называют плотными, с малым - разреженными. Плотные графы удобнее хранить в виде матрицы смежности, разреженные - в виде списка смежности.

 

Алгоритмы обхода графов

Основными алгоритмами обхода графов являются

 

Поиск в ширину подразумевает поуровневое исследование графа:

  • вначале посещается корень – произвольно выбранный узел,
  • затем – все потомки данного узла,
  • после этого посещаются потомки потомков и т.д.

Вершины просматриваются в порядке возрастания их расстояния от корня.
Алгоритм прекращает свою работу после обхода всех вершин графа, либо в случае выполнения требуемого условия (например, найти кратчайший путь из вершины 1 в вершину 6).
Каждая вершина может находиться в одном из 3 состояний:

  • 0 - оранжевый – необнаруженная вершина;
  • 1 - зеленый – обнаруженная, но не посещенная вершина;
  • 2 - серый – обработанная вершина.

Фиолетовый – рассматриваемая вершина.
Обход графа в ширину
Применения алгоритма поиска в ширину

  • Поиск кратчайшего пути в невзвешенном графе (ориентированном или неориентированном).
  • Поиск компонент связности.
  • Нахождения решения какой-либо задачи (игры) с наименьшим числом ходов.
  • Найти все рёбра, лежащие на каком-либо кратчайшем пути между заданной парой вершин.
  • Найти все вершины, лежащие на каком-либо кратчайшем пути между заданной парой вершин.

Алгоритм поиска в ширину работает как на ориентированных, так и на неориентированных графах.
Для реализации алгоритма удобно использовать очередь.

 
Реализация на C++ (с использованием очереди STL)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
#include <iostream>
#include <queue> // очередь
using namespace std;
int main()
{
  queue<int> Queue;
  int mas[7][7] = { { 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, // матрица смежности
  { 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0 },
  { 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0 },
  { 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0 },
  { 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0 },
  { 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1 },
  { 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0 } };
  int nodes[7]; // вершины графа
  for (int i = 0; i < 7; i++)
    nodes[i] = 0; // исходно все вершины равны 0
  Queue.push(0); // помещаем в очередь первую вершину
  while (!Queue.empty())
  { // пока очередь не пуста
    int node = Queue.front(); // извлекаем вершину
    Queue.pop();
    nodes[node] = 2; // отмечаем ее как посещенную
    for (int j = 0; j < 7; j++)
    { // проверяем для нее все смежные вершины
      if (mas[node][j] == 1 && nodes[j] == 0)
      { // если вершина смежная и не обнаружена
        Queue.push(j); // добавляем ее в очередь
        nodes[j] = 1; // отмечаем вершину как обнаруженную
      }
    }
    cout << node + 1 << endl; // выводим номер вершины
  }
  cin.get();
  return 0;
}

Результат выполнения
Результат обхода графа в ширину

Задача поиска кратчайшего пути
Реализация на С++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
#include <iostream>
#include <queue> // очередь
#include <stack> // стек
using namespace std;
struct Edge {
  int begin;
  int end;
};
int main()
{
  system("chcp 1251");
  system("cls");
  queue<int> Queue;
  stack<Edge> Edges;
  int req;
  Edge e;
  int mas[7][7] = { { 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1 },
  { 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0 },
  { 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0 },
  { 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0 },
  { 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0 },
  { 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1 },
  { 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0 } };
  int nodes[7]; // вершины графа
  for (int i = 0; i < 7; i++) // исходно все вершины равны 0
    nodes[i] = 0;
  cout << "N = "; cin >> req; req--;
  Queue.push(0); // помещаем в очередь первую вершину
  while (!Queue.empty())
  {
    int node = Queue.front(); // извлекаем вершину
    Queue.pop();
    nodes[node] = 2; // отмечаем ее как посещенную
    for (int j = 0; j < 7; j++)
    {
      if (mas[node][j] == 1 && nodes[j] == 0)
      { // если вершина смежная и не обнаружена
        Queue.push(j); // добавляем ее в очередь
        nodes[j] = 1; // отмечаем вершину как обнаруженную
        e.begin = node; e.end = j;
        Edges.push(e);
        if (node == req) break;
      }
    }
    cout << node + 1 << endl; // выводим номер вершины
  }
  cout << "Путь до вершины " << req + 1 << endl;
  cout << req + 1;
  while (!Edges.empty()) {
    e = Edges.top();
    Edges.pop();
    if (e.end == req) {
      req = e.begin;
      cout << " <- " << req + 1;
    }
  }
  cin.get(); cin.get();
  return 0;
}

Результат выполнения
Поиск кратчайшего пути
Поиск кратчайшего пути

 

Поиск в глубину – это алгоритм обхода вершин графа.

Поиск в ширину производится симметрично (вершины графа просматривались по уровням). Поиск в глубину предполагает продвижение вглубь до тех пор, пока это возможно. Невозможность продвижения означает, что следующим шагом будет переход на последний, имеющий несколько вариантов движения (один из которых исследован полностью), ранее посещенный узел (вершина).

Отсутствие последнего свидетельствует об одной из двух возможных ситуаций:

  • все вершины графа уже просмотрены,
  • просмотрены вершины доступные из вершины, взятой в качестве начальной, но не все (несвязные и ориентированные графы допускают последний вариант).

Каждая вершина может находиться в одном из 3 состояний:

  • 0 - оранжевый – необнаруженная вершина;
  • 1 - зеленый – обнаруженная, но не посещенная вершина;
  • 2 - серый – обработанная вершина;

Фиолетовый – рассматриваемая вершина.
Обход графа в глубину
Применения алгоритма поиска в глубину

  • Поиск любого пути в графе.
  • Поиск лексикографически первого пути в графе.
  • Проверка, является ли одна вершина дерева предком другой.
  • Поиск наименьшего общего предка.
  • Топологическая сортировка.
  • Поиск компонент связности.

Алгоритм поиска в глубину работает как на ориентированных, так и на неориентированных графах. Применимость алгоритма зависит от конкретной задачи.
Для реализации алгоритма удобно использовать стек или рекурсию.

 
Реализация на C++ (с использованием стека STL)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
#include <iostream>
#include <stack> // стек
using namespace std;
int main()
{
  stack<int> Stack;
  int mas[7][7] = { { 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, // матрица смежности
  { 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0 },
  { 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0 },
  { 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0 },
  { 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0 },
  { 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1 },
  { 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0 } };
  int nodes[7]; // вершины графа
  for (int i = 0; i < 7; i++) // исходно все вершины равны 0
    nodes[i] = 0;
  Stack.push(0); // помещаем в очередь первую вершину
  while (!Stack.empty())
  { // пока стек не пуст
    int node = Stack.top(); // извлекаем вершину
    Stack.pop();
    if (nodes[node] == 2) continue;
    nodes[node] = 2; // отмечаем ее как посещенную
    for (int j = 6; j >= 0; j--)
    { // проверяем для нее все смежные вершины
      if (mas[node][j] == 1 && nodes[j] != 2)
      { // если вершина смежная и не обнаружена
        Stack.push(j); // добавляем ее в cтек
        nodes[j] = 1; // отмечаем вершину как обнаруженную
      }
    }
    cout << node + 1 << endl; // выводим номер вершины
  }
  cin.get();
  return 0;
}


Результат выполнения
Результат обхода графа в глубину
Задача поиска лексикографически первого пути на графе.
Реализация на C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
#include <iostream>
//#include <queue> // очередь
#include <stack> // стек
using namespace std;
struct Edge {
  int begin;
  int end;
};
int main()
{
  system("chcp 1251");
  system("cls");
  stack<int> Stack;
  stack<Edge> Edges;
  int req;
  Edge e;
  int mas[7][7] = { { 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, // матрица смежности
  { 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0 },
  { 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0 },
  { 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0 },
  { 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0 },
  { 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1 },
  { 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0 } };
  int nodes[7]; // вершины графа
  for (int i = 0; i < 7; i++) // исходно все вершины равны 0
    nodes[i] = 0;
  cout << "N = ";
  cin >> req;
  req--;
  Stack.push(0); // помещаем в очередь первую вершину
  while (!Stack.empty())
  { // пока стек не пуст
    int node = Stack.top(); // извлекаем вершину
    Stack.pop();
    if (nodes[node] == 2) continue;
    nodes[node] = 2; // отмечаем ее как посещенную
    for (int j = 6; j >= 0; j--)
    { // проверяем для нее все смежные вершины
      if (mas[node][j] == 1 && nodes[j] != 2)
      { // если вершина смежная и не обнаружена
        Stack.push(j); // добавляем ее в cтек
        nodes[j] = 1; // отмечаем вершину как обнаруженную
        e.begin = node; e.end = j;
        Edges.push(e);
        if (node == req) break;
      }
    }
    cout << node + 1 << endl; // выводим номер вершины
  }
  cout << "Путь до вершины " << req + 1 << endl;
  cout << req + 1;
  while (!Edges.empty())
  {
    e = Edges.top();
    Edges.pop();
    if (e.end == req)
    {
      req = e.begin;
      cout << " <- " << req + 1;
    }
  }
  cin.get(); cin.get();
  return 0;
}

Результат выполнения
Поиск первого пути на графе
Поиск первого пути на граф

Поиск в глубину также может быть реализован с использованием рекурсивного алгоритма.

Реализация обхода графа в глубину на C++ (с использованием рекурсии)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
#include <iostream>
using namespace std;
int mas[7][7] = { { 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, // матрица смежности
{ 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0 },
{ 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0 },
{ 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0 },
{ 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0 },
{ 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1 },
{ 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0 } };
int nodes[7]; // вершины графа
void search(int st, int n)
{
  int r;
  cout << st + 1 << " ";
  nodes[st] = 1;
  for (r = 0; r < n; r++)
    if ((mas[st][r] != 0) && (nodes[r] == 0))
      search(r, n);
}
int main()
{
  for (int i = 0; i < 7; i++) // исходно все вершины равны 0
    nodes[i] = 0;
  search(0, 7);
  cin.get();
  return 0;
}

Результат выполнения
Рекурсивный обход в глубину

Пример использования графов - алгоритм Дейкстры нахождения кратчайшего пути во взвешенных графах.


Назад: Структуры данных

Комментариев к записи: 2

  • Интересный вопрос — в Windows 10 не линкуется код с DX 9. А в ХР все нормально.


  • Сам недавно узнал — в функции main()  не нужно ставить «return 0» он там есть уже по умолчанию.

    Код с кириллицей не компилируется в MinGW, а в Visual Studio все нормально.


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *