Найти определитель квадратной матрицы

Задачи и их решения / Найти определитель квадратной матрицы

 

Задача Найти определитель квадратной матрицы.

 
Определитель (детерминант) квадратной матрицы — это число, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим правилам.

  • Для матрицы первого порядка значение определителя равно единственному элементу этой матрицы:
    Определитель матрицы 1 порядка
  • Для матрицы второго порядка (2×2) значение определителя вычисляется как
    Определитель матрицы 2 порядка
  • Для матриц более высоких порядков (выше второго) m×m определитель можно вычислить применив рекурсивную формулу:
    Определитель матрицы m порядка
    где Mij — дополнительный минор квадратной матрицы — определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца.
    Например, формула вычисления определителя матрицы 3-го порядка имеет вид
    Определитель матрицы 3 порядка

 
Реализация на C++

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
#include <iostream>
using namespace std;
// Функция вывода матрицы
void PrintMatr(int **mas, int m) {
  int i, j;
  for (i = 0; i<m; i++) {
    for (j = 0; j<m; j++)
      cout << mas[i][j] << " ";
    cout << endl;
  }
}
// Получение матрицы без i-й строки и j-го столбца
void GetMatr(int **mas, int **p, int i, int j, int m) {
  int ki, kj, di, dj;
  di = 0;
  for (ki = 0; ki<m — 1; ki++) { // проверка индекса строки
    if (ki == i) di = 1;
    dj = 0;
    for (kj = 0; kj<m — 1; kj++) { // проверка индекса столбца
      if (kj == j) dj = 1;
      p[ki][kj] = mas[ki + di][kj + dj];
    }
  }
}
// Рекурсивное вычисление определителя
int Determinant(int **mas, int m) {
  int i, j, d, k, n;
  int **p;
  p = new int*[m];
  for (i = 0; i<m; i++)
    p[i] = new int[m];
  j = 0; d = 0;
  k = 1; //(-1) в степени i
  n = m — 1;
  if (m<1) cout << "Определитель вычислить невозможно!";
  if (m == 1) {
    d = mas[0][0];
    return(d);
  }
  if (m == 2) {
    d = mas[0][0] * mas[1][1] — (mas[1][0] * mas[0][1]);
    return(d);
  }
  if (m>2) {
    for (i = 0; i<m; i++) {
      GetMatr(mas, p, i, 0, m);
      cout << mas[i][j] << endl;
      PrintMatr(p, n);
      d = d + k * mas[i][0] * Determinant(p, n);
      k = -k;
    }
  }
  return(d);
}
// Основная функция
int main() {
  int m, i, j, d;
  int **mas;
  system("chcp 1251");
  system("cls");
  cout << "Введите размерность квадратной матрицы: ";
  cin >> m;
  mas = new int*[m];
  for (i = 0; i<m; i++) {
    mas[i] = new int[m];
    for (j = 0; j<m; j++) {
      cout << "mas[" << i << "][" << j << "]= ";
      cin >> mas[i][j];
    }
  }
  PrintMatr(mas, m);
  d = Determinant(mas, m);
  cout << "Определитель матрицы равен " << d;
  cin.get(); cin.get();
  return 0;
}

 
Результат выполнения

Воспользоваться калькулятором для вычисления определителя можно здесь.


Назад: Задачи и их решения

Комментариев к записи: 8

  • Жаль что здесь не поддерживается вставка кода в комментарий, но надеюсь Вы сможете прочитать это безобразие. И я ещё там забыл в начале UINT32 на int исправить.

  • Благодарю, Ваш пример помог мне разобраться в этой теме. Но думаю что создавать и копировать минор матрицы на каждой рекурсии нерационально. Достаточно передавать в рекурсию ссылки на исходную матрицу. Это и короче в написании и экономит память и вычислительное время.
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    13
    14
    15
    16
    17
    18
    19
    20
    21
    22
    23
    24
    25
    26
    27
    28
    29
    30
    31
    32
    // ----------------------------- Определитель --------------------------
    // Вычисляет определитель матрицы T размерностью N
    double det(double **T, UINT32 N)
    {
      double det__;
      int sub_j, s;
      double **subT;    // Субматрица как набор ссылок на исходную матрицу
      switch (N)
      {
      case 1:
        return T[0][0];
      case 2:
        return T[0][0] * T[1][1] - T[0][1] * T[1][0];
      default:
        if (N < 1) return nan("1");  // Некорректная матрица
        subT = new double*[N-1];  // Массив ссылок на столбцы субматрицы
        det__ = 0;
        s = 1;        // Знак минора
        for (int i = 0; i < N; i++)  // Разложение по первому столбцу
        {
          sub_j = 0;
          for (int j = 0; j < N; j++)// Заполнение субматрицы ссылками на исходные столбцы
            if (i != j)      // исключить i строку
              subT[sub_j++] = T[j] + 1;  // здесь + 1 исключает первый столбец

          det__ = det__ + s * T[i][0] * det(subT, N-1);
          s = -s;
        };
        delete[] subT;
        return det__;
      };
    };

  • В функции Determinant мы выделяем память для массива p, дальше, ! не присваивая значения членам массива p !, отправляем его как аргумент в функцию. Получаем в итоге всегда 0-й определитель. Так что тут нужно слегка доделать код

    • Елена Вставская
      Не понимаю, к чему замечание. Код рабочий, проверен. Есть случаи, когда в функцию в качестве аргумента передается указатель на незаполненный массив, чтобы функция сама его заполнила.

      • А ничего, что у вас на каждой рекурсии память утекает? Всё верно вам сказали, для того, чтобы вычислить определитель, не нужно создавать матрицу на каждой рекурсии/итерации вообще, это огромная избыточность. Кроме того, любой рекурсивный алгоритм можно (и нужно) заменить на итеративный. Это избавит вас от риска переполнить стек. В данном случае риск очень большой. Количество созданных матриц будет равно count!/2. При порядке матрицы в несколько десятков, программа упадёт.

      • вы точно его проверяли?, я только что его вставил в VS ну и результат меня не порадовал, выскочило столько ошибок

    • Максим Веремеєв
      а можно чуть поподробнее, а то как раз столкнулся с проблемой на матрице больше 10х10

  • Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *