Задача Найти определитель квадратной матрицы.
Определитель (детерминант) квадратной матрицы — это число, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим правилам.
Для матрицы первого порядка значение определителя равно единственному элементу этой матрицы:
{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix}}=a_{11}}
Для матрицы второго порядка (2×2) значение определителя вычисляется как
{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11} \cdot a_{22} \ — \ a_{12} \cdot a_{21}}
Для матриц более высоких порядков (выше второго) m×m определитель можно вычислить применив рекурсивную формулу:
{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}& \cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22} & \cdots &a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} &a_{m2} & \cdots &a_{mm}\end{vmatrix}}}
{\displaystyle \Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{{M}}_{1j}}
где {\displaystyle{M_{ij}}} — дополнительный минор квадратной матрицы — определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца.
Например, формула вычисления определителя матрицы 3-го порядка имеет вид
{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{21}{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{31}{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}}
Реализация на C++
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
#include <iostream>
using namespace std;
// Функция вывода матрицы
void PrintMatr(int** mas, int m)
{
int i, j;
for (i = 0; i < m; i++)
{
for (j = 0; j < m; j++)
cout << mas[i][j] << " ";
cout << endl;
}
}
// Получение матрицы без i-й строки и j-го столбца
void GetMatr(int** mas, int** p, int i, int j, int m)
{
int ki, kj, di, dj;
di = 0;
for (ki = 0; ki < m - 1; ki++) // проверка индекса строки
{
if (ki == i) di = 1;
dj = 0;
for (kj = 0; kj < m - 1; kj++) // проверка индекса столбца
{
if (kj == j)
dj = 1;
p[ki][kj] = mas[ki + di][kj + dj];
}
}
}
// Рекурсивное вычисление определителя
int Determinant(int** mas, int m)
{
int i, j, d, k, n;
int** p;
p = new int* [m];
for (i = 0; i < m; i++)
p[i] = new int[m];
j = 0; d = 0;
k = 1; //(-1) в степени i
n = m - 1;
if (m < 1) cout << "Определитель вычислить невозможно!";
if (m == 1)
{
d = mas[0][0];
return(d);
}
if (m == 2)
{
d = mas[0][0] * mas[1][1] - (mas[1][0] * mas[0][1]);
return(d);
}
if (m > 2) {
for (i = 0; i < m; i++)
{
GetMatr(mas, p, i, 0, m);
cout << mas[j] << endl;
PrintMatr(p, n);
d = d + k * mas[i][0] * Determinant(p, n);
k = -k;
}
}
for (i = 0; i < m; i++)
delete []p[i];
delete[]p;
return(d);
}
// Основная функция
int main()
{
int m, i, j, d;
int** mas;
system("chcp 1251");
system("cls");
cout << "Введите размерность квадратной матрицы: ";
cin >> m;
mas = new int* [m];
for (i = 0; i < m; i++)
{
mas[i] = new int[m];
for (j = 0; j < m; j++)
{
cout << "mas[" << i << "][" << j << "]= ";
cin >> mas[i][j];
}
}
PrintMatr(mas, m);
d = Determinant(mas, m);
cout << "Определитель матрицы равен " << d;
for (i = 0; i < m; i++)
delete[] mas[i];
delete[]mas;
cin.get(); cin.get();
return 0;
}Результат выполнения
Благодарю, Ваш пример помог мне разобраться в этой теме.
Но думаю что создавать и копировать минор матрицы на каждой рекурсии нерационально.
Достаточно передавать в рекурсию ссылки на исходную матрицу. Это и короче в написании и экономит память и вычислительное время.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
// Вычисляет определитель матрицы T размерностью N
double det(double **T, UINT32 N)
{
double det__;
int sub_j, s;
double **subT; // Субматрица как набор ссылок на исходную матрицу
switch (N)
{
case 1:
return T[0][0];
case 2:
return T[0][0] * T[1][1] — T[0][1] * T[1][0];
default:
if (N < 1) return nan("1"); // Некорректная матрица
subT = new double*[N-1]; // Массив ссылок на столбцы субматрицы
det__ = 0;
s = 1; // Знак минора
for (int i = 0; i < N; i++) // Разложение по первому столбцу
{
sub_j = 0;
for (int j = 0; j < N; j++)// Заполнение субматрицы ссылками на исходные столбцы
if (i != j) // исключить i строку
subT[sub_j++] = T[j] + 1; // здесь + 1 исключает первый столбец
det__ = det__ + s * T[i][0] * det(subT, N-1);
s = -s;
};
delete[] subT;
return det__;
};
};