Рекурсия — состоит в определении, описании, изображении какого-либо объекта или процесса внутри самого этого объекта или процесса. Это ситуация, когда объект является частью самого себя.
Процедура или функция может содержать вызов других процедур или функций. В том числе процедура может вызвать саму себя. Компьютер лишь последовательно выполняет команды и, если встречается вызов процедуры, просто начинает выполнять эту процедуру. Без разницы, какая процедура дала команду это делать.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
#include <iostream>
using namespace std;
void func(int num)
{
if (num > 0)
func(num - 1);
cout << num << " ";
}
int main()
{
func(3);
cin.get();
return 0;
}
Процедура func() вызывается с параметром 3. В ней содержится вызов процедуры func() с параметром 2. Предыдущий вызов еще не завершился, поэтому создается еще одна процедура и до окончания ее работы func(3) свою работу приостанавливает. Процесс вызова заканчивается, когда параметр равен 0. В этот момент одновременно выполняются 4 экземпляра процедуры.
Количество одновременно выполняемых процедур называют глубиной рекурсии.
Последняя вызванная процедура func(0) выведет число 0 и закончит свою работу. После этого управление возвращается к процедуре, которая ее вызвала: func(1) и выводится число 1. И так далее пока не завершатся все процедуры.
Важным и обязательным моментом в формировании рекурсивной процедуры является базис рекурсии.
Базис рекурсии определяет условие выхода из рекурсии. Как правило, в качестве базиса записывается некий простейший случай, при котором ответ получается сразу, без использования рекурсии.
Существует такое понятие как шаг рекурсии или рекурсивный вызов. В случае, когда рекурсивная функция вызывается для решения сложной задачи (не базового случая) выполняется некоторое количество рекурсивных вызовов или шагов, с целью сведения задачи к более простой. И так до тех пор пока не получим базовое решение.
Сложная рекурсия
Возможна чуть более сложная схема: функция A вызывает функцию B, а та в свою очередь вызывает A. Это называется сложной рекурсией. При этом оказывается, что описываемая первой процедура должна вызывать еще не описанную. Чтобы это было возможно, требуется использовать описание функции B до ее использования.
Пример: вычислить значение выражения
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
#include <iostream>
using namespace std;
int pow(int, int); // описание сигнатуры
double calc(int x, int n)
{
return (double)pow(x, n) / n; // вызов функции pow
}
int pow(int x, int n)
{
if (n == 1) return x;
return x * calc(x, n - 1); // вызов функции calc
}
int main()
{
int n, x;
cout << "n = ";
cin >> n;
cout << "x = ";
cin >> x;
double a = calc(x, n); // вызов рекурсивной функции
cout << a;
cin.get(); cin.get();
return 0;
}
Префиксная и постфиксная форма записи
Префиксная форма
Сначала — рекурсивный вызов, потом — действия
2
3
4
5
6
7
8
...
void func(int num)
{
if (num > 0)
func(num - 1);
cout << num << " ";
}
...
Постфиксная форма
Сначала — действия, потом — рекурсивный вызов
2
3
4
5
6
7
8
...
void func(int num)
{
cout << num << " ";
if (num > 0)
func(num - 1);
}
...
Рекуррентные соотношения
Во многих случаях в основе рекурсии лежат рекуррентные соотношения.
Рекуррентное соотношение — это соотношение вида
выражающее каждый член последовательности an через p предыдущих членов.
Вычисление требуемого элемента последовательности будет состоять в повторяющемся обновлении значений этой последовательности.
Каждое такое обновление называется итерацией, а процесс повторения итераций – итерированием.
Рекурсия или итерирование
Итерация — организация обработки данных, при которой действия повторяются многократно, не приводя при этом к вызовам самих себя (в отличие от рекурсии). Рассмотрим вычисление факториала в виде итерационной и рекурсивной процедуры.
Итерационная процедура
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
#include <iostream>
using namespace std;
int fact(int num)
{
int rez = 1;
for (int i = 1; i <= num; i++)
rez *= i;
return rez;
}
int main()
{
cout << fact(3);
cin.get();
return 0;
}Рекурсивная процедура
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
#include <iostream>
using namespace std;
int fact(int num)
{
if (num == 1)
return 1;
return num * fact(num - 1);
}
int main()
{
cout << fact(3);
cin.get();
return 0;
}Вызов функции влечет за собой некоторые дополнительные накладные расходы, связанные с передачей управления и аргументов в функцию, а также возвратом вычисленного значения. Поэтому итерационная процедура вычисления факториала будет несколько более быстрым решением. Чаще всего итерационные решения работают быстрее рекурсивных.
Любые рекурсивные процедуры и функции, содержащие всего один рекурсивный вызов самих себя, легко заменяются итерационными циклами.
Еще одним недостатком рекурсии является то, что ей может не хватать для работы стека. При каждом рекурсивном вызове в стеке сохраняется адрес возврата и передаваемые аргументы. Если рекурсивных вызовов слишком много, отведенный объем стека может быть превышен. (Например, рекурсивное вычисление факториала отрицательного числа).
Однако процедуры, вызывающие себя два и более раз чаще всего не имеют простого нерекурсивного аналога. В этом случае множество вызываемых процедур образует не цепочку, а целое дерево. Существуют широкие классы задач, когда вычислительный процесс должен быть организован именно таким образом. Как раз для них рекурсия будет наиболее простым и естественным способом решения. Кроме того, рекурсивные алгоритмы, как правило, намного проще с логической точки зрения, чем итерационные.
