Генерация размещений

Алгоритмизация / Генерация размещений

Пусть задано некоторое конечное множество из N различных элементов. И требуется выбрать из него M элементов. Выбранные M из предложенных N элементов называются выборкой. Если важен порядок, в котором произведена выборка элементов, то говорят об упорядоченной выборке, если порядок не важен, то говорят о неупорядоченной выборке.

В комбинаторике упорядоченная выборка объемом M элементов из предложенного множества N различных элементов называется размещением из N элементов по M.
Все комбинации внутри размещения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения.
Различают также размещения без повторений (когда все M элементов внутри выборки различны) и размещения с повторениями.

Задача: Найти все возможные размещения из множества элементов {1,2,3} по 2.
Существуют следующие размещения:
1: 1 2
2: 1 3
3: 2 1
4: 2 3
5: 3 1
6: 3 2

Размещения без повторений

В случае размещения без повторений количество элементов множества N≥M.
Количество размещений без повторений для N различных элементов по M составляет составляет

Количество размещений без повторений

В случае если N=M, количество размещений совпадает с количеством перестановок без повторений и составляет N!. Такое же количество размещений получится в случае если M=N-1.

Рассмотрим задачу получения всех размещений без повторений для чисел 1...N по M. Для генерации всех возможных размещений из N по M в лексикографическом порядке воспользуемся ранее рассмотренным решением для генерации перестановок без повторений.

Реализация

#include <iostream>
using namespace std;
void swap(int *a, int i, int j) {
  int s = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = s;
}
bool NextSet(int *a, int n, int m) {
  int j;
  do { // повторяем пока не будет найдено следующее размещение
    j = n - 1;
    while (j != -1 && a[j] >= a[j + 1]) j--;
if (j == -1)
      return false; // больше размещений нет
    int k = n - 1;
    while (a[j] >= a[k]) k--;
    swap(a, j, k);
    int l = j + 1, r = n - 1; // сортируем оставшуюся часть последовательности
    while (l < r)
      swap(a, l++, r--);
  } while (j > m - 1);
  return true;
}
void Print(int *a, int n) { // вывод размещения
  static int num = 1; // номер размещения
  cout.width(3); // ширина поля вывода номера размещения
  cout << num++ << ":  ";
  for (int i = 0; i < n; i++)
    cout << a[i] << " ";
  cout << endl;
}
int main() {
  int n, m, *a;
  cout << "N = ";
  cin >> n;
  cout << "M = ";
  cin >> m;
  a = new int[n];
  for (int i = 0; i < n; i++)
    a[i] = i + 1;
  Print(a, m);
  while (NextSet(a, n, m))
    Print(a, m);
  cin.get(); cin.get();
  return 0;
}

Результат выполнения
Генерация размещений без повторений
2016-01-11 19-21-53 D Projects ConsoleApplication76 Debug ConsoleApplication76.exe

Размещения с повторениями

В случае если элементы из множества N могут повторяться в выборках по M элементов, общее количество таких размещений составляет

Количество размещений с повторениями

При этом не накладывается ограничений на размерность рассматриваемого массива N по сравнению с M (может быть как N≥M, так и N<M)

Примером такой задачи может служить подбор шифра сейфа из M<10 цифр, которые должны набираться последовательно и могут повторяться.

Для генерации размещений с повторениями удобно было бы использовать M вложенных циклов, однако такое решение применимо только к задаче, в которой заранее известно число M. Поэтому рассмотрим более общий вариант генерации размещений с повторениями.

Реализация

#include <iostream>
using namespace std;
bool NextSet(int *a, int n, int m) {
  int j = m - 1;
  while ( j>=0 && a[j] == n) j--;
  if (j < 0) return false;
  if (a[j] >= n)
    j--;
  a[j]++;
  if (j == m - 1) return true;
  for (int k = j + 1; k < m; k++)
    a[k] = 1;
  return true;
}
void Print(int *a, int n) {
  static int num = 1;
  cout.width(3);
  cout << num++ << ":  ";
  for (int i = 0; i < n; i++)
    cout << a[i] << " ";
  cout << endl;
}
int main() {
  int n, m, *a;
  cout << "N = ";
  cin >> n;
  cout << "M = ";
  cin >> m;
  int h = n > m ? n : m; // размер массива а выбирается как max(n,m)
  a = new int[h];
  for (int i = 0; i < h; i++)
    a[i] = 1;
  Print(a, m);
  while (NextSet(a, n, m))
    Print(a, m);
  cin.get(); cin.get();
  return 0;
}

Результат работы приведенного выше алгоритма:
Генерация размещений с перестановками
Генерация размещений с перестановками
Назад


Назад: Алгоритмизация

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *