Наибольший общий делитель

Алгоритмизация / Наибольший общий делитель

Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел m и n называется наибольшее число, на которое делятся числа m и n. Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел m или n не равно нулю.

Алгоритм был придуман Евклидом в Древней Греции более 2000 лет назад и основан на следующем правиле.

Для любых целых чисел x, y > 0 выполняется равенство

НОД (x, y) = НОД (x % y, y)

Любое число, которое делит оба числа x и y, делит также и x - y, поэтому НОД (x, y) ≤ НОД (x - y, y). Аналогично, любое число, которое делит оба числа x − y и y, делит также и их сумму x, поэтому НОД (x, y) ≥ НОД (x - y, y).

Требуемое равенство получается последовательным вычитанием y из x.
Идея алгоритма отыскания наибольшего общего делителя заключается в том, чтобы отнимать от большего меньшее, пока числа не станут равны. Полученное число и является наибольшим общим делителем.

Например, необходимо определить наибольший общий делитель чисел 50 и 20.

  • находим 50-20=30. Из трех чисел 50, 20, 30 отбрасываем наибольшее.
  • находим 30-20=10. Из трех чисел 30, 20, 10 отбрасываем наибольшее.
  • находим 20-10 = 10. Из трех чисел 20, 10, 10 отбрасываем наибольшее.
  • 10=10, значит это число является наибольшим общим делителем исходных.

Реализацию указанного алгоритма удобно произвести с использованием рекурсивной процедуры.

Реализация

#include <iostream>
using namespace std;
int NOD(int n1, int n2) {
  int div;
  if (n1 == n2) return n1;
  int d = n1 - n2;
  if (d < 0) {
    d = -d;
    div = NOD(n1, d);
  } else {
    div = NOD(n2, d);
  }
  return div;
}
int main() {
  int n1, n2;
  cout << "n1=";
  cin >> n1;
  cout << "n2=";
  cin >> n2;
  cout << NOD(n1, n2);
  cin.get(); cin.get(); return 0;
}

Результат выполнения

Наибольший общий делитель

Назад


Назад: Алгоритмизация

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *