{\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcr}a_{11} \cdot x_{1}+a_{12} \cdot x_{2}+ \ldots + a_{1n} \cdot x_{n}& = & y_{1}\\ a_{21} \cdot x_{1} + a_{22} \cdot x_{2} + \ldots +a_{2n} \cdot x_{n} & = & y_{2} \\ \ldots & & \\a_{m1} \cdot x_{1} + a_{m2} \cdot x_{2} + \ldots +a_{mn} \cdot x_{n} & =& y_{m}\\\end{array}}\right.}
{\displaystyle {\left({\begin{array}{cccc}a_{11} a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & & \\ a_{m1} a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{array}}\right) \cdot \left({\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}} \right) = \left({\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{array}} \right) }}
{\displaystyle{A \cdot X = Y}}
Метод Гаусса решения системы линейных уравнений включает в себя 2 стадии:
- последовательное (прямое) исключение;
- обратная подстановка.
Последовательное исключение
Исключения Гаусса основаны на идее последовательного исключения переменных по одной до тех пор, пока не останется только одно уравнение с одной переменной в левой части.
Затем это уравнение решается относительно единственной переменной.
Таким образом, систему уравнений приводят к треугольной (ступенчатой) форме. Для этого среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой (а чаще максимальный) элемент и перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк.
Затем нормируют все уравнения, разделив его на коэффициент {\displaystyle{a_{i1}}}, где {\displaystyle{i}} – номер столбца.
{\displaystyle{ \left\{{\begin{array}{lcr} x_1 + \displaystyle{\frac {a_{12}} {a_{11}}} \cdot x_2 + & \ldots + & \displaystyle{\frac {a_{1n}} {a_{11}}} \cdot x_n = & \displaystyle{\frac {y_1} {a_{11}}} \\ x_1 + \displaystyle{\frac {a_{22}} {a_{21}}} \cdot x_2 + & \ldots + & \displaystyle{\frac {a_{2n}} {a_{21}}} \cdot x_n = & \displaystyle{\frac {y_2} {a_{21}}} \\ \ldots \\ x_1 + \displaystyle{\frac {a_{m2}} {a_{m1}}} \cdot x_2 + & \ldots + & \displaystyle{\frac {a_{mn}} {a_{m1}}} \cdot x_n = & \displaystyle{\frac {y_m} {a_{m1}}} \\ \end{array}}\right. }}
Затем вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк:
{\displaystyle{ \left\{{\begin{array}{lcr} x_1 + & \displaystyle{\frac {a_{12}} {a_{11}}} \cdot x_2 + & \ldots + & \displaystyle{\frac {a_{1n}} {a_{11}}} \cdot x_n = & \displaystyle{\frac {y_1} {a_{11}}} \\ 0 + & \displaystyle{\left( \frac {a_{22}} {a_{21}} \ — \ \frac {a_{12}} {a_{11}} \right)} \cdot x_2 + & \ldots + & \displaystyle{\left( \frac {a_{2n}} {a_{21}} \ — \ \frac {a_{1n}} {a_{11}} \right)} \cdot x_n = & \displaystyle{\left( \frac {y_2} {a_{21}} \ — \ \frac {y_{1}} {a_{11}} \right)} \\ \ldots \\ 0 + & \displaystyle{\left( \frac {a_{m2}} {a_{m1}} \ — \ \frac {a_{12}} {a_{11}} \right)} \cdot x_2 + & \ldots + & \displaystyle{\left( \frac {a_{mn}} {a_{m1}} \ — \ \frac {a_{1n}} {a_{11}} \right)} \cdot x_n = & \displaystyle{\left( \frac {y_m} {a_{m1}} \ — \ \frac {y_{1}} {a_{11}} \right)} \\ \end{array}}\right. }}
Получают новую систему уравнений, в которой заменены соответствующие коэффициенты.
{\displaystyle{ \left\{{\begin{array}{lcr} x_1 & + a_{12} \prime \cdot x_2 + & \ldots + & a_{1n} \prime \cdot x_n = & y_1 \prime \\ 0 & + a_{22} \prime \cdot x_2 + & \ldots + & a_{2n} \prime \cdot x_n = & y_2 \prime \\ \ldots \\ 0 & + a_{m2} \prime \cdot x_2 + & \ldots + & a_{mn} \prime \cdot x_n = & y_m \prime \\ \end{array}}\right. }}
После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают указанный процесс для всех последующих уравнений пока не останется уравнение с одной неизвестной:
{\displaystyle{ \left\{{\begin{array}{lcr} x_1 & + & a_{12} \prime \cdot x_2 &+ & a_{13} \prime \cdot x_3 &+ & \ldots &+ & a_{1n} \prime \cdot x_n & = & y_1 \prime \\ 0 & + & x_2 &+ & a_{23} \prime \prime \cdot x_3 &+ & \ldots &+ & a_{2n} \prime \prime \cdot x_n & = & y_2 \prime \prime \\ 0 & + & 0 &+ & x_3 &+ & \ldots &+ & a_{3n} \prime \prime \prime \cdot x_n & = & y_3 \prime \prime \prime \\ \ldots \\ 0 & + & 0 &+ & 0 &+ & \ldots &+ & x_n & = & y_m^n \prime \\ \end{array}}\right. }}
Обратная подстановка
{\displaystyle{x_{n-1} = y_{n-1}^{(n-1) \prime} — a_{(n-1)n}^{(n-1) \prime} \cdot x_n}}
{\displaystyle{x_{n-2} = y_{n-2}^{(n-2) \prime} — a_{(n-2)n}^{(n-2) \prime} \cdot x_n — a_{(n-2)(n-1)}^{(n-2) \prime} \cdot x_{n-1}}}
{\displaystyle{\ldots}}
{\displaystyle{x_{2} = y_{2}^{ \prime \prime} — a_{2n}^{\prime \prime} \cdot x_n — a_{2(n-1)}^{\prime \prime} \cdot x_{(n-1)} — \ldots — a_{23}^{ \prime \prime} \cdot x_{3}}}
{\displaystyle{x_{1} = y_{1}^{ \prime} — a_{1n}^{\prime} \cdot x_n — a_{1(n-1)}^{\prime} \cdot x_{(n-1)} — \ldots — a_{13}^{ \prime} \cdot x_{3} — a_{12}^{ \prime} \cdot x_{2}}}
Иллюстрирующий пример
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcr}2 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2}+ 1 \cdot x_{3}& = & 36\\ 5 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3} & = & 47 \\ 2 \cdot x_{1} + 3 \cdot x_{2} +4 \cdot x_{3} & =& 37\\\end{array}}\right.}
{\displaystyle {\left({\begin{array}{ccc}2 & 4 & 1\\ 5 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 4\end{array}}\right) \cdot \left({\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}} \right) = \left({\begin{array}{c}36 \\ 47 \\ 37 \end{array}} \right) }}
Выбираем строку с максимальным коэффициентом {\displaystyle{a_{i1}}} и меняем ее с первой.
{\displaystyle {\left({\begin{array}{ccc}\red{5} & 2 & 1\\ 2 & 4 & 1\\ 2 & 3 & 4\end{array}}\right) \cdot \left({\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}} \right) = \left({\begin{array}{c}47 \\ 36 \\ 37 \end{array}} \right) }}
Нормируем уравнения относительно коэффициента при {\displaystyle{x_1}}:
{\displaystyle {\left({\begin{array}{ccc}1 & \displaystyle{\frac {2}{5}} & \displaystyle {\frac {1} {5}}\\ \\ 1 & \displaystyle {\frac {4}{2}} & \displaystyle {\frac {1}{2}}\\ \\ 1 & \displaystyle {\frac {3}{2}} & \displaystyle {\frac {4}{2}}\end{array}}\right) \cdot \left({\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}} \right) = \left({\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {47}{5}} \\ \\ \displaystyle {\frac {36}{2}} \\ \\ \displaystyle {\frac {37}{2}} \end{array}} \right) }}
{\displaystyle {\left({\begin{array}{ccc}1 & 0,4 & 0,2\\ 0 & 1,6 & 0,3\\ 0 & 1,1 & 1,8\end{array}}\right) \cdot \left({\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}} \right) = \left({\begin{array}{c}9,4 \\ 8,6 \\ 9,1 \end{array}} \right) }}
{\displaystyle {\left({\begin{array}{ccc}1 & 0,4 & 0,2\\ 0 & \red{1,6} & 0,3\\ 0 & 1,1 & 1,8\end{array}}\right) \cdot \left({\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}} \right) = \left({\begin{array}{c}9,4 \\ 8,6 \\ 9,1 \end{array}} \right) }}
Нормируем 2 и 3 уравнения относительно коэффициента при x_2:
{\displaystyle {\left({\begin{array}{ccc}1 & 0,4 & 0,2\\ 0 & 1 & 0,1875\\ 0 & 1 & 1,636\end{array}}\right) \cdot \left({\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}} \right) = \left({\begin{array}{c}9,4 \\ 5,375 \\ 8,272 \end{array}} \right) }}
{\displaystyle {\left({\begin{array}{ccc}1 & 0,4 & 0,2\\ 0 & 1 & 0,1875\\ 0 & 0 & 1,4489\end{array}}\right) \cdot \left({\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}} \right) = \left({\begin{array}{c}9,4 \\ 5,375 \\ 2,897 \end{array}} \right) }}
{\displaystyle {\left({\begin{array}{ccc}1 & 0,4 & 0,2\\ 0 & 1 & 0,1875\\ 0 & 0 & 1\end{array}}\right) \cdot \left({\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}} \right) = \left({\begin{array}{c}9,4 \\ 5,375 \\ 2 \end{array}} \right) }}
{\displaystyle{x_2=5,375-0,175 \cdot x_3 = 5,375-0,175 \cdot 2 = 5}}
{\displaystyle{x_1= 9,4-0,2 \cdot x_3 — 0,4 \cdot x_2 = 9,4-0,2 \cdot 2 — 0,4 \cdot 5 = 7}}
{\displaystyle{X=(7 \ \ 5 \ \ 2)^T}}
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
#include <iostream>
using namespace std;
// Вывод системы уравнений
void sysout(double** a, double* y, int n)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
{
cout << a[i][j] << "*x" << j;
if (j < n - 1)
cout << " + ";
}
cout << " = " << y[i] << endl;
}
return;
}
double* gauss(double** a, double* y, int n)
{
double* x, max;
int k, index;
const double eps = 0.00001; // точность
x = new double[n];
k = 0;
while (k < n)
{
// Поиск строки с максимальным a[i][k]
max = abs(a[k][k]);
index = k;
for (int i = k + 1; i < n; i++)
{
if (abs(a[i][k]) > max)
{
max = abs(a[i][k]);
index = i;
}
}
// Перестановка строк
if (max < eps)
{
// нет ненулевых диагональных элементов
cout << "Решение получить невозможно из-за нулевого столбца ";
cout << index << " матрицы A" << endl;
return 0;
}
for (int j = 0; j < n; j++)
{
double temp = a[k][j];
a[k][j] = a[index][j];
a[index][j] = temp;
}
double temp = y[k];
y[k] = y[index];
y[index] = temp;
// Нормализация уравнений
for (int i = k; i < n; i++)
{
double temp = a[i][k];
if (abs(temp) < eps) continue; // для нулевого коэффициента пропустить
for (int j = k; j < n; j++)
a[i][j] = a[i][j] / temp;
y[i] = y[i] / temp;
if (i == k) continue; // уравнение не вычитать само из себя
for (int j = 0; j < n; j++)
a[i][j] = a[i][j] - a[k][j];
y[i] = y[i] - y[k];
}
k++;
}
// обратная подстановка
for (k = n - 1; k >= 0; k--)
{
x[k] = y[k];
for (int i = 0; i < k; i++)
y[i] = y[i] - a[i][k] * x[k];
}
return x;
}
int main()
{
double** a, * y, * x;
int n;
system("chcp 1251");
system("cls");
cout << "Введите количество уравнений: ";
cin >> n;
a = new double* [n];
y = new double[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
{
a[i] = new double[n];
for (int j = 0; j < n; j++)
{
cout << "a[" << i << "][" << j << "]= ";
cin >> a[i][j];
}
}
for (int i = 0; i < n; i++)
{
cout << "y[" << i << "]= ";
cin >> y[i];
}
sysout(a, y, n);
x = gauss(a, y, n);
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << "x[" << i << "]=" << x[i] << endl;
for (int i = 0; i < n; i++)
delete[] a[i];
delete[] a;
delete[] y;
delete[] x;
cin.get(); cin.get();
return 0;
}
