Дерево – структура данных, представляющая собой древовидную структуру в виде набора связанных узлов.
Бинарное дерево — это конечное множество элементов, которое либо пусто, либо содержит элемент (корень), связанный с двумя различными бинарными деревьями, называемыми левым и правым поддеревьями. Каждый элемент бинарного дерева называется узлом. Связи между узлами дерева называются его ветвями.
Способ представления бинарного дерева:
- A - корень дерева
- В - корень левого поддерева
- С - корень правого поддерева
Корень дерева расположен на уровне с минимальным значением.
Узел D, который находится непосредственно под узлом B, называется потомком B. Если D находится на уровне i, то B – на уровне i-1. Узел B называется предком D.
Максимальный уровень какого-либо элемента дерева называется его глубиной или высотой.
Если элемент не имеет потомков, он называется листом или терминальным узлом дерева.
Остальные элементы – внутренние узлы (узлы ветвления).
Число потомков внутреннего узла называется его степенью. Максимальная степень всех узлов есть степень дерева.
Число ветвей, которое нужно пройти от корня к узлу x, называется длиной пути к x. Корень имеет длину пути равную 0; узел на уровне i имеет длину пути равную i.
Бинарное дерево применяется в тех случаях, когда в каждой точке вычислительного процесса должно быть принято одно из двух возможных решений.
Имеется много задач, которые можно выполнять на дереве.
Распространенная задача — выполнение заданной операции p с каждым элементом дерева. Здесь p рассматривается как параметр более общей задачи посещения всех узлов или задачи обхода дерева.
Если рассматривать задачу как единый последовательный процесс, то отдельные узлы посещаются в определенном порядке и могут считаться расположенными линейно.
Способы обхода дерева
Пусть имеем дерево, где A — корень, B и C — левое и правое поддеревья.
Существует три способа обхода дерева:
- Обход дерева сверху вниз (в прямом порядке): A, B, C - префиксная форма.
- Обход дерева в симметричном порядке (слева направо): B, A, C - инфиксная форма.
- Обход дерева в обратном порядке (снизу вверх): B, C, A - постфиксная форма.
Реализация дерева
Узел дерева можно описать как структуру:
2
3
4
5
int field; // поле данных
struct tnode *left; // левый потомок
struct tnode *right; // правый потомок
};
При этом обход дерева в префиксной форме будет иметь вид
2
3
4
5
6
7
if (tree!=NULL) { //Пока не встретится пустой узел
cout << tree->field; //Отображаем корень дерева
treeprint(tree->left); //Рекурсивная функция для левого поддерева
treeprint(tree->right); //Рекурсивная функция для правого поддерева
}
}
Обход дерева в инфиксной форме будет иметь вид
2
3
4
5
6
7
if (tree!=NULL) { //Пока не встретится пустой узел
treeprint(tree->left); //Рекурсивная функция для левого поддерева
cout << tree->field; //Отображаем корень дерева
treeprint(tree->right); //Рекурсивная функция для правого поддерева
}
}
Обход дерева в постфиксной форме будет иметь вид
2
3
4
5
6
7
if (tree!=NULL) { //Пока не встретится пустой узел
treeprint(tree->left); //Рекурсивная функция для левого поддерева
treeprint(tree->right); //Рекурсивная функция для правого поддерева
cout << tree->field; //Отображаем корень дерева
}
}
Бинарное (двоичное) дерево поиска – это бинарное дерево, для которого выполняются следующие дополнительные условия (свойства дерева поиска):
- оба поддерева – левое и правое, являются двоичными деревьями поиска;
- у всех узлов левого поддерева произвольного узла X значения ключей данных меньше, чем значение ключа данных самого узла X;
- у всех узлов правого поддерева произвольного узла X значения ключей данных не меньше, чем значение ключа данных узла X.
Данные в каждом узле должны обладать ключами, на которых определена операция сравнения меньше.
Как правило, информация, представляющая каждый узел, является записью, а не единственным полем данных.
Для составления бинарного дерева поиска рассмотрим функцию добавления узла в дерево.
Добавление узлов в дерево
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
if (tree == NULL) { // Если дерева нет, то формируем корень
tree =new tnode; // память под узел
tree->field = x; // поле данных
tree->left = NULL;
tree->right = NULL; // ветви инициализируем пустотой
}else if (x < tree->field) // условие добавление левого потомка
tree->left = addnode(x,tree->left);
else // условие добавление правого потомка
tree->right = addnode(x,tree->right);
return(tree);
}
Удаление поддерева
2
3
4
5
6
7
if(tree!=NULL) {
freemem(tree->left);
freemem(tree->right);
delete tree;
}
}
Пример Сортировка элементов массива с помощью дерева
Пример Написать программу, подсчитывающую частоту встречаемости слов входного потока.
Поскольку список слов заранее не известен, мы не можем предварительно упорядочить его. Неразумно пользоваться линейным поиском каждого полученного слова, чтобы определять, встречалось оно ранее или нет, т.к. в этом случае программа работает слишком медленно.
Один из способов — постоянно поддерживать упорядоченность уже полученных слов, помещая каждое новое слово в такое место, чтобы не нарушалась имеющаяся упорядоченность. Воспользуемся бинарным деревом.
В дереве каждый узел содержит:
- указатель на текст слова;
- счетчик числа встречаемости;
- указатель на левого потомка;
- указатель на правого потомка.
Рассмотрим выполнение программы на примере фразы
now is the time for all good men to come to the aid of their party
При этом дерево будет иметь следующий вид
Пример реализации
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
#include <ctype.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
//#include <cstddef>
#define MAXWORD 100
struct tnode { // узел дерева
char* word; // указатель на строку (слово)
int count; // число вхождений
struct tnode* left; // левый потомок
struct tnode* right; // правый потомок
};
// Функция добавления узла к дереву
struct tnode* addtree(struct tnode* p, char* w) {
int cond;
if (p == NULL) {
p = (struct tnode*)malloc(sizeof(struct tnode));
p->word = _strdup(w);
p->count = 1;
p->left = p->right = NULL;
}
else if ((cond = strcmp(w, p->word)) == 0)
p->count++;
else if (cond < 0)
p->left = addtree(p->left, w);
else
p->right = addtree(p->right, w);
return p;
}
// Функция удаления поддерева
void freemem(tnode* tree) {
if (tree != NULL) {
freemem(tree->left);
freemem(tree->right);
free(tree->word);
free(tree);
}
}
// Функция вывода дерева
void treeprint(struct tnode* p) {
if (p != NULL) {
treeprint(p->left);
printf("%d %s\n", p->count, p->word);
treeprint(p->right);
}
}
int main() {
struct tnode* root;
char word[MAXWORD];
root = NULL;
do {
scanf_s("%s", word, MAXWORD);
if (isalpha(word[0]))
root = addtree(root, word);
} while (word[0] != '0'); // условие выхода – ввод символа '0'
treeprint(root);
freemem(root);
getchar();
getchar();
return 0;
}
Результат выполнения
